Turinys

Kombinatorikos ir tikimybių teorinės apklausos medžiaga

Dalis teorijos ir pavyzdžių surinkti kažkokios gerietės (turbūt Aistės) iš 4b klasės.

Užduotys

Originalas: http://matematika.newmail.ru/TIKIMYBES/teorija_APKLAUSAI.doc

  1. Suformuluoti ir paaiškinti kombinatorinę sudėties taisyklę
  2. Suformuluoti ir paaiškinti kombinatorinę daugybos taisyklę
  3. Paaiškinti, kas yra n!
  4. Apibrėžti gretinį iš ''n'' elementų po ''m'' elementų
  5. Apibrėžti kėlinį iš ''n'' elementų po ''n'' elementų
  6. Apibrėžti derinį iš ''n'' elementų po ''m'' elementų
  7. Klasikinis tikimybės apibrėžimas
  8. Apibrėžti ir mokėti paaiškinti bei pateikti pavyzdžius įvykiui priešingą įvykį, įvykių sąjungą, sankirtą, įvykių nesutaikomumą
  9. Dviejų nepriklausomų įvykių apibrėžimas, pavyzdžiai
  10. Paaiškinti, kas yra atsitiktinis dydis, jo skirstinys, matematinė viltis, dispersija, vidutinis kvadratinis nuokrypis
  11. Paaiškinti, kas yra binominis skirstinys

Kiekvienai sąvokai sugebėti pateikti pavyzdžius.

Teorija

Kombinatorinė sudėties taisyklė

Jei kuriam nors elementui a pasirinkti yra n būdų, o elementui b pasirinkti yra m būdų, tai pasirinkti arba a arba b yra n + m būdų.

Pavyzdys

Yra 5 saldainiai ir 3 bandelės. Jei Aistė nori pasirinkti saldainį arba bandelę, tai turi 5 + 3 = 8 pasirinkimo būdų.

Kombinatorinė daugybos taisyklė

Jei kuriam nors elementui a pasirinkti yra n būdų, o elementui b pasirinkti yra m būdų, tai galimybių pasirinkti a ir b elementų porą skaičius lygus m * n.

Pavyzdys

Yra 5 saldainiai ir 3 bandelės. Aistė nori pasirinkti saldainį ir bandelę, taigi turi 5 * 3 = 15 pasirinkimo būdų.

n!

n! - natūraliojo skaičiaus n faktorialas. Tai visų skaičių nuo 1 iki n imtinai (t.y. įskaitant ir n) sandauga.

n! = 1 * 2 * 3 * … * (n-1) * n

© Aistė

Pavyzdys

Penketo faktorialas:

5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120

Gretiniai iš n elementų po m elementų

Gretiniai iš n elementų po m elementų yra tokie junginiai, kurie vienas nuo kito skiriasi arba pačiais elementais, arba jų išsidėstymo tvarka.

Formulė:

A^k_n = {n!}/{(n-k)!}

Sabybės:

n, m ∈ N, 1 ≤ m ≤ n

Pavyzdys

Trims knygoms lentynoje yra skirtos tik dvi vietos. Keliais būdais jas galima sudėti?

A^2_3 = {3!}/{1!} = 3! = 3*2*1 = 6

Kėliniai iš n elementų

Kėliniai iš n elementų yra gretiniai iš n elementų po n elementų. Kėlinių skaičius žymimas Pn.

Pn = n!

Pavyzdys

Septyniems svečiams prie stalo yra skirtos septynios vietos. Keliais būdais jie gali susėsti?

P7 = 7! = 5040

Deriniai iš n elementų po m elementų

Deriniais iš n elementų po m elementų vadinami junginiai, kurie vienas nuo kito skiriasi tik pačiais elementais (tvarka nėra svarbi).

C^m_n = {n!}/{k! * (n-k)!}

Pavyzdys

Stovi 10 žmonių. Iš jų atsitiktinai išrenkami 2. Keliais būdais tai galima padaryti?

C^2_10 = {10!}/{8! * 2!}

Tikimybė

Jei bandymo baigčių aibė yra sudaryta iš n visų galimų baigčių, tikimybė yra skaičius iš intervalo [0; 1], parodantis, kiek tikėtina, kad įvykis įvyks. Tikimybės P(E) priskiriamos įvykiams E pagal tikimybės aksiomą. Jei įvykiui A palankių baigčių yra m, tai įvykio P(A) tikimybe vadinamas skaičius P(A) = m/n

Paaiškinimas žmonių kalba

Jeigu kažkoks bandymas (pvz. vieną kartą metama moneta) turi n galimų baigčių (pvz. herbas arba skaičius, n = 2), tai tikimybė yra skaičius nuo 0 iki 1 (imtinai - įskaitant 0 ir 1), parodantis, kiek tikėtina, kad kuris nors įvykis (pvz. iškrito herbas) įvyks.

Aksioma - teiginys, kurio nereikia įrodyti, t.y. jei iškrito herbas, tai neiškrito skaičius. Sakinys apie aksiomas reiškia, kad kiekvienas elementarusis įvykis (kuri nors galima baigtis, pvz. „iškrito herbas“) turi savo tikimybę.

Tarkime, kad įvykis A - „atvirto herbas“. Tada įvykiui A palankių baigčių skaičius m lygus 1, o P(A) = m/n = 1/2

Priešingas įvykis

Priešingas įvykis - tai įvykis, kurio baigtys nepalankios A, t.y. tas, kuris vyksta tik tada, jei nevyksta A.

Žymimas P(overline{A})

Pavyzdys

Vieną kartą metama moneta. Jeigu A - „iškrito herbas“, tai overline{a} - „iškrito skaičius“.

Sąjunga (suma)

Įvykių A ir B sąjunga (suma) - tai įvykis, kurio baigtys palankios bent vienam iš įvykių A arba B.

Žymima A union B

Pavyzdys

Metamas paprastas lošimo kauliukas. Įvykis A - „iškrito 1“, įvykis B - „iškrito 2“. Įvykis A union B būtų „iškrito 1 ir/arba 2“.

Sankirta

Įvykių A ir B sankirta (sandauga) - tai įvykis, kuris vyksta tada, kai vyksta abu įvykiai - ir A, ir B.

Žymima A inter B

Pavyzdys

Metamas paprastas lošimo kauliukas. Įvykis A - “iškrito 1”, įvykis B - “iškrito 2”. Įvykis A inter B būtų “iškrito 1 ir 2”.

Nesutaikomi įvykiai

Nesutaikomi įvykiai - tai įvykiai, kurie negali įvykti vienu metu.

Pavyzdys

Metama moneta. Įvykis A - „iškrito herbas“. Įvykis B - „iškrito skaičius“. A ir B yra nesutaikomi, nes skaičius ir herbas negalėjo iškristi vienu metu.

Nepriklausomi įvykiai

Nepriklausomi įvykiai - įvykiai, kurių vieno įvykimas neturi įtakos kito įvykimui.

Pavyzdys

Metamos dvi monetos. Įvykis A - „pirmoji moneta atsivertė herbu“. Įvykis B - „antroji moneta atsivertė skaičiumi“. Įvykiai A ir B yra nepriklausomi, nes nuo pirmosios monetos metimo rezultato nepriklauso antrosios monetos metimo rezultatas.

Atsitiktinis dydis

Atsitiktinis dydis - bet koks dydis, kuris po bandymo įgyja konkrečią, iš anksto nežinomą skaitinę reikšmę.

Žymėjimas

Atsitiktinis dydis žymimas X

Dydžio įgyjamos skaitinės reikšmės - x1, x2, x3, …

Tikimybės, su kuriomis tos reikšmės įgyjamos: P1, P2, P3, …

Pavyzdžiai

Bandymas Įvykis Atsitiktinis dydis X Galimos X reikšmės
Metamas lošimo kauliukas Iškrinta 1, 2, 3, 4, 5 arba 6 akutės Iškritusių akučių skaičius 1, 2, 3, 4, 5, 6
Metamos trys monetos Atvirsta herbas Atsivertusių herbų skaičius 0, 1, 2, 3
Traukiami keturi rutuliai Ištraukti tam tikros spalvos rutuliai Ištrauktų tos pačios spalvos rutulių skaičius 0, 1, 2, 3, 4
Du kartus šaunama į taikinį Pataikyta į taikinį Pataikymų skaičius 0, 1, 2
Sveriamas arbūzas Svoris ne mažesnis už 2, bet ne didesnis už 5 kg Arbūzo masė, išreikšta kilogramais [2; 5]
Traukiamos keturios kortos Ištrauktas tūzas Tūzų skaičius 0, 1, 2, 3, 4

Skirstinys

Skirstinys - tai yra lentelė:

X x1 x2 x3 … xn
P P1 P2 P3 … Pn

Visos X reikšmės lentelėje turi būti skirtingos.

Tikimybių suma visada lygi 1 (P1 + P2 + … + Pn = 1).

Matematinė viltis (atsitiktinio dydžio vidurkis)

Matematinė viltis arba atsitiktinio dydžio vidurkis - atsitiktinio dydžio vidurkio skaitinė reikšmė. Skaičiuojama pagal formulę:

EX = x_1 * p_1 + x_2 * p_2 + ... + x_n * p_n

Dispersija

Dispersija - išsibarstymo matas, kuris parodo, kaip atsitiktinio dydžio reikšmės išsidėsčiusios apie vidurkį.

Formulė:

DX = (x_1 - EX)^2*p_1 + (x_2 - EX)^2*p_2 + ... + (x_n - EX)^2*p_n

Vidutinis kvadratinis nuokrypis

Formulė:

delta = sqrt{DX}

Binominis skirstinys

Binominis skirstinys - tai skirstinys, kurio bandymas susideda iš n vienodų nepriklausomų bandymų, kurių kiekvienas turi dvi baigtis, o atliekant kiekvieną bandymą įvykio A tikimybė pastovi, o priešingo 1 - p = q.

Binominis bandymas turi tenkinti šias sąlygas:

Formulė:

P_n(k) = C^k_n * p^k * q^{n-k}

Pavyzdys

Simetriška moneta metama keturis kartus. Apskaičiuokite tikimybę, kad tris kartus atsivertė herbas.