Dinamikos pagrindai

Norint apskaičiuoti kūno koordinates, reikia žinoti judėjimo pagreitį. Pagreičio atsiradimo priežastis nagrinėja mechanikos dalis, vadinama dinamika. Dinamikos pagrindą sudaro trys Niutono dėsniai, kuriuos 17 a. pabaigoje suformulavo Niutonas.

Pirmasis Niutono dėsnis nusako sąlygas, kada kūnas nejuda arba juda tolygiai.

Egzistuoja tokios atskaitos sistemos, kurių atžvilgiu slenkantys kūnai išlaiko pastovų greitį, jeigu jų neveikia kiti kūnai (arba kitų kūnų poveikiai kompensuojasi).

Sprendžiant uždavinius, daug patogesnė pirmojo Niutono dėsnio formuluotė yra tokia: kai kūną veikiančių jėgų vektorinė arba jų projekcijų algebrinė suma lygi nuliui, kūnas nejuda arba juda tolygiai:

F1 + F2 + F3 + … + Fn = 0 .

Pirmasis Niutono dėsnis dar vadinamas inercijos dėsniu.

Inertiškumas yra viena svarbiausių kiekvieno kūno savybių, nes nuo jo priklauso pagreitis, kurį kūnas įgyja sąveikaudamas su kitais kūnais. Kūno inertiškumui apibūdinti fizikoje naudojamas dydis, vadinamas mase.

Masė - inertiškumo matas. Sl sistemoje masės vienetas - kilogramas (kg).

Jei kūnas juda su pagreičiu, tai mes visuomet rasime kitą kūną arba kitus kūnus, kurie tą pagreitį sukelia.

Dydis, kuris apibūdina, kaip vienas kūnas veikia kitą kūną, keisdamas jo greitį, t. y. suteikdamas jam pagreitį, vadinamas jėga. Taigi kai sakoma, kad kūną veikia jėga, tai reiškia, kad tą kūną veikia kitas kūnas. Jėga yra ne tik pagreičio atsiradimo priežastis, bet ir kūno formos pasikeitimo priežastis (deformacijos).

Jėgos vienetas SI sistemoje - niutonas: 1N = 1kg · m/s2.

Jėga matuojama dinamometru.

Antruoju Niutono dėsniu nustatomas ryšys tarp kūną veikiančios jėgos, kūno masės ir pagreičio, kuriuo kūnas juda.

Bandymų išvados rodo, kad pagreitis, kuriuo juda kūnas, yra tiesiog proporcingas kūną veikiančiai jėgai ir atvirkščiai proporcingas to kūno masei:

a = F/m.

Antrasis Niutono dėsnis dažniausiai užrašcmas taip: F = ma.

Paprastai kūną veikia ne viena, bet kelios jėgos. Todėl sprendžiant uždavinius antrą iutono dėsnį patogiau formuluoti taip: masės ir pagreičio sandauga lygi jėgų vektorinei arba jų projekcijų algebrinei sumai:

F1 + F2 + F3 + … + Fn = ma .

Trečiasis Niutono dėsnis yra kūnų sąveikos dėsnis. Sąveikaujantieji kūnai veikia vienas kitątam tikromis jėgomis. Tų jėgų ryšį nusako trečiasis Niutono dėsnis.

Veikimo ir atoveikio jėgos visuomet lygios ir priešingų krypčių, bet niekuomet viena kitos neatsveria, nes veikia skirtingus kūnus:

F1 = -F2

Niutono dėsniai galioja tik inercinėse atskaitos sistemose. Inercinėmis atskaitos sistemomis vadiname tokias atskaitos sistemas, kurių atžvilgiu slenkančio kūno greitis nekinta, jei visų kūnų veikiančių jėgų vektorinė suma lygi nuliui.

Antrojo Niutono dėsnio formulę galima užrašyti kitaip: F = ma, a = (v – vo)/t

F = (mv – mvo)/t, Ft = mv – mvo.

Kūno masės ir greičio sandauga yra fizikinis dydis, kuris vadinamas kūno impulsu arba kūno judesio kiekiu.

Kūno impulsas - vektorinis dydis. Impulso vektoriaus kryptis sutampa su greičio vektoriaus kryptimi. Sandauga Ft vadinama jėgos impulsu. SI sistemoje impulso matavimo vienetas - kg·m/s.

Kūno impulso pokytis lygus jėgos impulsui.

Impulsui būdinga labai įdomi ir svarbi savybė, kurią turi tik keletas fizikinių dydžių. Tai tvermės savybė, pasireiškianti tuo, kad tik vieno su kitu sąveikaujančių kūnų impulsų geometrinė suma nekinta.

Tegul sąveikoje dalyvauja du kunai, pirmas kūnas veikia antrąjį su jėga F , tai pagal trečiąjį Niutono dėsnį antrasis kūnas pirmąjį veikia su jėga -F. Kūnų masės m1 ir m2, jų greičiai vo1 ir vo2. Dėl sąveikos kūnų greičiai po tam tikro laiko t bus v1 ir v2.

Ft = m1v1 - m vo1 -Ft = m2v2 – m2 vo2

Vadinasi m1v1 + m2v2 = m vo1 + m2 vo2.

Impulso tvermės dėsnis galioja tik uždarosioms sistemoms. Uždarąja sistema vadinama tokia grupė kūnų, kurie nesąveikauja su jokiais kitais kūnais, nepriklausančiais tai grupei.

Impulso tvermės dėsnis: uždarosios sistemos kūnų impulsų geometrinė suma lieka pastovi, kai tos sistemos kūnai bet kaip sąveikauja vienas su kitu.

Impulso tvermės dėsniu yra pagrįstas reaktyvusis judėjimas.

Nagrinėjant mechaninį kūnų judėjimą, susiduriama iš viso tik su trijų rūšių jėgomis: su tamprumo jėga, trinties jėga ir traukos jėga.

Kai du kūnai susiliesdami veikia vienas kitą, abu šie kūnai deformuojasi. Kiekvienas kūnas deformuojasi veikiant bet kuriai, nors ir mažiausiai, jėgai. Deformacijos metu atsiranda jėga, kurios kryptis priešinga deformuojamo kūno dalelių poslinkiui. Ši jėga vadinama tamprumo jėga.

Tempiant arba gniuždant kūnus tamprumo jėga apskaičiuojama pagal Huko dėsnį.

Ftampr = -kx,

k - proporcingumo koeficientas, vadinamas standumu; x - kūno pailgėjimas.

Deformuoto kūno (spyruoklės) tamprumo jėga proporcinga kūno (spyruoklės) pailgėjimui ir nukreipta priešingai deformuoto kūno dalelių poslinkiui.

Iki Niutono buvo manoma, kad tik žemė turi savybę traukti prie savęs kūnus. 1667 m. Niutonas iškėlė hipotezę, kad apskritai tarp visų kūnų veikia tarpusavio sąveikos jėgos. Tas jėgas jis pavadino visuotinos traukosjėgomis.

Niutonui pavyko parodyti, kad kūnų tarpusavio traukos jėga priklauso nuo abiejų kūnų masės ir kaip priklauso nuo atstumo tarp kūnų.

Visi kūnai traukia vienas kitą jėga, kurios modulis tiesiog proporcingas jų masių sandaugai ir atvirkščiai proporcingas atstumo tarp jų kvadratui:

F = GMm/R2,

R - atstumas tarp kūnų masių centrų; G - proporcingumo koeticientas, vienodas visiems gamtos kūnams, vadinamas visuotinės traukos konstanta:

G = 6,67·10-11 Nm2/kg2.

Jėga, kuria žemė traukia prie savęs kūnus, vadinama sunkio jėga. Ji nukreipta į žemės centrą. Jeigu kūną veikia tik ši jėga (o visos kitos atsvertos), jis krenta pastoviu pagreičiu g. Tokį kūno judėjimą vadiname laisvu kritimu. Laisvo kritimo pagreitį bet kurioje planetoje galima apskaičiuoti pagal formulę:

g = GM/(R + h)2,

M - planetos masė; R - planetos spindulys; h - aukštis virš planetos.

Sunkio jėgos formulė:

FS = mg.

Kūno svoriu vadiname jėgą, kuria žemės traukiamas kūnas veikia atramą arba pakabą. Kūno svoris nėra pastovus dydis.

Jeigu atrama arba pakaba nejuda arba juda tolygiai, svoris apskaičiuojamas pagal formulę

P = mg.

Kai kunas kyla vertikaliai su pagreičiu a, tai P = m(g + a),

Kūnui leidžiantis vertikaliai su pagreičiu a P = m(g - a).

Iš formulės matome: jei a = g, tai P = 0.

Kad kūno svoris būtų lygus nuliui, tai yra būtų nesvarus, kūnas turi kristi su pagreičiu g.

Trinties yra kelios rūšys: rimties, slydimo, riedėjimo, trintis skysčiuose ir dujose.

Trinties atsiradimo priežastis – paviršiaus nelygumai ir molekulių trauka.

Rimties trinties jėga - tai jėga, kuri trukdo pajudinti iš vietos kūną. Rimties trinties jėgos modulis visuomet lygus moduliui jėgos, veikiančios kūną lygiagrečiai jo sąlyčio su kitu kūnu paviršiui, o kryptis priešinga tos jėgos krypčiai.

Trinties jėga apskaičiuojama

F = μN,

μ - trinties koeficientas;N - slėgimo jėga.

Slydimo trinties jėga - tai jėga, kuri atsiranda vienam krūviui slystant kito kūno paviršiumi: slydimo trinties jėgos kryptis priešinga krypčiai kūno greičio, kuriuo jis juda liečiančio jį kūno atžvilgiu.

Riedėjimo trintis daug kartų mažesnė už slydimo.

Kūnui judant skystyje arba dujose trinties jėga priklauso nuo kūno formos ir greičio.

Sprendžiant įvairius judėjimo uždavinius, mes susiduriame su laisvai krintančių kūnų judėjimu, vertikaliai aukštyn ar kampu į horizontą mesto kūno judėjimu.

Mums reikia žinoti, kad šios judėjimo rūšys yra tolygiai kintamas judėjimas su pagreičiu g, kurio kryptis ir modulis yra pastovūs. Šioms judėjimo rūšims tinka visos tolygiai kintamo judėjimo lygtys.

S = vot + at2/2, v = vo + at, v2 – v02 = 2aS.

Kūnas laisvai krenta iš aukščio h, tai reiškia, kad vo = 0. Tada

h = gt2/2, t = √2h/g.

Smūgio į žemę metu greitis

v2 – vo2 = 2gh , v= √2gh .

Nagrinėdami vertikaliai mesto kūno judėjimą mes turime žinoti, kad kūno kilimo ir kritimo laikai vienodi (jeigu neatsižvelgiame į oro pasipriešinimą), kad kūno greitis aukščiausiame pakilimo taške v=0. Iš formulės

v = vo - gt, t = vo/g.

t - kilimo laikas.

Didžiausias pakilimo aukštis randamas iš formulės v2 – vo2 = 2gh, hmax = vo2/2g.

Kylant kūnui aukštyn laisvo kūno kritimo pagreitis neigiamas.

Kūnas, išmestas horizontaliai greičiu vo, dalyvauja dviejuose judėjimuose: tolygiai juda x ašies kryptimi ir laisvai krenta y ašies kryptimi (13 pav.).

Jeigu kūnas tuo pačiu metu atlieka kelis judesius, tai kiekvienas šių judesių vyksta nepriklausomai nuo kitų. Todėl galime rašyti, kad kritimo laikas yra

.

Lėkimo nuotolis: .

Greitis bet kuriame trajektorijos taške apskaičiuojamas .

Kampas , kurį grečio vektorius sudaro su OX ašimi, tangentas randamas pagal formulę

Meskime kokį nors kūną kampu a į horizontą (14 pav.). Sekdami, kaip jis juda, pastebėsime, kad iš pradžių kūnas kyla judėdamas kreive, o paskui taip pat kreive krinta žemyn. Matome, kad ir šiuo atveju kūnas dalyvauja dviejuose judėjimuose: x ir y ašies kryptimi. Pradinį greitį vo suprojektuojame į x ir y ašis.

vox = vocosα, voy = vosinα .

Kūno lėkimo laiką apskaičiuojame pagal formulę t = 2voy/g,

lėkimo nuotolis l = voxt, l = 2vo2sinαcosα/g = vo2sin2α.

Toliausiai kunas lekia išmestas 45° kampu. Pakilimo aukštis Hmax = voy2/g = vo2sin2α/2g.

Horizontaliai mesto kūno trajektorija yra parabolės šaka. Parabolės kreivumas priklauso nuo greičio, kuriuo kūnas išmetamas. Galima parinkti tokią kūno greičio vertę, kad žemės paviršius dėl savo kreivumo nutoltų nuo kūno lygiai tiek, kiek kūnas priartėja prie žemės, jos traukos veikiamas. Tuomet kūnas judės spindulio R+h apskritimu, kur h - atstumas nuo žemės, R - žemės spindulys.

Greitį apskaičiuojame taip: apskritimu judančio kūno pagreitis

a = v2/(R + h)

Tą pagreitį suteikia jėga F = GMm/(R + h)2, M - žemės masė; m - palydovo masė.

A = F/m, v1 = √GM/(R + h).

Žemės palydovu gali tapti bet kokios masės kūnas. Jei palydovas leidžiamas netoli planetos paviršiaus – h = 0.

v1 = √GM/R, g = GM/R2, v1 = √gR = 8 km/s.

Toks greitis vadinamas pirmuoju kosminiu greičiu. Tokiu greičiu paleistas kūnas skrieja apskritimine orbita netoli žemės paviršiaus.

Jei kūnui suteiksime greitį v2 = v1 · √2 = 11,2 km/s kūnas visam laikui paliks žemės gravitacijos lauką. Tokį greitį vadiname antruoju kosminiu greičiu. Kad kūnas išeitų iš saulės sistemos, jam reikia suteikti ne mažesnį kaip 42 km/s greitį.

Kūnai paprastai juda veikiami ne vienos, o keleto jėgų. Kaip pavyzdį išnagrinėkime kūno judėjimą nuožulnia plokštuma, arba kūnų, pakabintų ant nekilnojamojo skridinio, judėjimą.

1) Nuožulnia plokštuma, kurios poslinkio kampas a, juda m masės tašelis (15 pav.). Tašelio trinties į plokštumą koeficientas μ. Raskime tašelio pagreitį.

Pagreičio ieškome remdamiesi antruoju Niutono dėsniu, t. y. masės ir pagreičio sandauga lygi jėgų vektorinei arba jų projekcijų į bet kurią ašj algebrinei sumai. Užrašome ir vieną, ir kitą.

Kūną veikia F3 = mg jėga, atramos reakcijosjėga N ir trinties jėga Ftr .

ma = Ftr + mg + N , N = mg cosα,

x) ma = mgsina - Ftr, Ftr = μ N = μmgcosa,

y) 0 = 0 + N - mgcosa,

ma = mgsina - μmgcosa,

a=g(sina - μcosa).

Kai sina > cosa, kūnas slysta žemyn su pagreičiu, t.y. tga > μ.

2) Per nekilnojamąjį skridinį permestas siūlas, prie kurio galų pritvirtinti m1 ir m2 masės pasvarai (16 pav.), m1 > m2. Raskime pagreitį. Sistemai leidžiama judėti:

a = a1 = a2.

Abiem kūnams užrašome antrą Niutono dėsnį. m1a = m1g + F,

m2a = m2g + F.

Jėgas suprojektavę į y ašį gausime tokią lygčių sistemą:

- m1a = - m1g + F,

m2a = - m2g + F.

Ją išsprendę gausime a = (m1 – m2)g/(m1 + m2).