Turinys

Integralas ir jo taikymas

Pirmykštė funkcija

Žymėjimas:

Veiksmo pavadinimas: diferencijavimas arba integravimas.

Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) pirmykšte funkcija, kai F'(x) = f(x), pvz.:

Kurios funkcijos išvestinė yra funkcija f(x) = 4x^3?

F(x) = x^4 + C, C in bbR

C - didžioji!

Neapibrėžtinis integralas

F(x) + C = int{}{}{f(x) dx}

Integralo skaičiavimo formulės

F(x) pm C = int{}{}{f(x) dx}

Nr. Funkcija f(x) Funkcijos išvestinė f prime (x) Pirmykštė funkcija int{}{}{f(x) dx}
1. x^n n * x^{n-1} {x^{n+1}}/{n+1}, n <> -1
x^0 = 1 {x^1}/1 = x
k (skaičius) kx
kx + b k k*{{x^2}/2} + b
x^2 2x {x^3}/3
ax^2 + bx + c 2ax + b {ax^3}/3 + {bx^2}/2 + cx
x^3 3x^2 {x^4}/4
sqrt{x} = x^{1/2} 1/2 * sqrt{x} {x^{1.5}}/1.5 = {x sqrt{x}}/1.5 = {2x sqrt{x}}/3
2. 1/x = x^{-1} -{1/{x^2}} ln delim{|}{x}{|}
3. a^x a^x * ln a {a^x}/{ln a}
e^x e^x e^x
4. sin x cos x -cos x
5. cos x -sin x sin x
6. tg x 1/{cos^2 x} Skaičiuojama pagal kitas taisykles.
7. ctg x -{1/{sin^2 x}} Skaičiuojama pagal kitas taisykles.
8. 1/{sin^2 x} - -ctg x
9. 1/{cos^2 x} - tg x

Integralo skaičiavimo taisyklės

  1. int{}{}{k*f(x) dx} = k*int{}{}{f(x) dx}
  2. int{}{}{(u(x) + v(x)) dx} = int{}{}{u(x) dx} + int{}{}{v(x) dx}
  3. Sudėtinės funkcijos integralo skaičiavimo formulė: int{}{}{f(ax + b) dx} = {1/a} * F(ax + b), a <> 0
  4. Visada prie gautojo neapibrėžtinio integralo reikia pridėti C!

Apibrėžtinis integralas

Niutono-Leibnico formuuuuuuuuuuuuuuuuuuuulė

S = int{a}{b}{f(x) dx} = delim{}{F(x)}{|}{matrix{2}{1}{{b}{a}}}{} = F(b) - F(a)

Šio reiškinio rezultatas gali būti neigiamas (jei grafikas yra ne pirmame ar antrame ketvirčiuose), todėl reikia:

  1. naudotis modulio ženklu arba
  2. pirmiausia apskaičiuoti integralą, po to parašyti plotą.

Pavyzdys (kreivinė trapecija)

Vienoje koordinatinėje plokštumoje nubraižykite kreives (tieses):

Apskaičiuokite šiomis kreivėmis apribotos figūros plotą.

Kreivinė trapecija (beveik)

(Galima spręsti ir paprasčiau, t.y. be integralų)

Sprendimas (be Integralų)

Sprendimas (su Integralais)