Atsitiktiniai dydžiai

Atsitiktiniu dydžiu vadiname bet kokį dydį, kuris po bandymo įgyja konkrečią, iš anksto nežinomą skaitinę reikšmę.

Bandymų ir atsitiktinių dydžių pavyzdžiai

Bandymas	Įvykis	Atsitiktinis dydis `X`	Galimos `X` reikšmės
Metamas lošimo kauliukas	Iškrinta 1, 2, 3, 4, 5 arba 6 akutės	Iškritusių akučių skaičius	1, 2, 3, 4, 5, 6
Metamos trys monetos	Atvirsta herbas	Atsivertusių herbų skaičius	0, 1, 2, 3
Traukiami keturi rutuliai	Ištraukti tam tikros spalvos rutuliai	Ištrauktų tos pačios spalvos rutulių skaičius	0, 1, 2, 3, 4
Du kartus šaunama į taikinį	Pataikyta į taikinį	Pataikymų skaičius	0, 1, 2
Sveriamas arbūzas	Svoris ne mažesnis už 2, bet ne didesnis už 5 kg	Arbūzo masė, išreikšta kilogramais	`[2; 5]`
Traukiamos keturios kortos	Ištrauktas tūzas	Tūzų skaičius	0, 1, 2, 3, 4

Žymėjimas

Atsitiktinis dydis žymimas X

Dydžio įgyjamos skaitinės reikšmės - x₁, x₂, x₃, …

Tikimybės, su kuriomis tos reikšmės įgyjamos: P₁, P₂, P₃, …

Atsitiktinio dydžio skirstinys

Tai yra lentelė:

`X`	`x₁`	`x₂`	`x₃`	…	`x_n`
`P`	`P₁`	`P₂`	`P₃`	…	`P_n`

Visos X reikšmės lentelėje turi būti skirtingos.

Tikimybių suma visada lygi 1 (P₁ + P₂ + … + P_n = 1).

Vidurkis, dispersija, kvadratinis nuokrypis

Atsitiktinio dydžio vidurkis (matematinė viltis)

Atsitiktinio dydžio vidurkis arba matematinė viltis skaičiuojama pagal formulę:

EX = x_1 * p_1 + x_2 * p_2 + ... + x_n * p_n

Dispersija

Dispersija - išsibarstymo matas; ji parodo, kaip dydžio reikšmės išsidėsčiusios apie vidurkį.

Formulė:

DX = (x_1 - EX)^2*p_1 + (x_2 - EX)^2*p_2 + ... + (x_n - EX)^2*p_n

Kvadratinis nuokryptis

Formulė:

delta = sqrt{DX}

Binominis skirstinys

Binominis bandymas turi tenkinti šias sąlygas:

bandymas susideda iš n vienodų bandymų, kiekvieno bandymo metu stebimas tas pats įvykis A, kuris gali įvykti arba neįvykti
atliekant kiekvieną bandymą įvykio A tikimybė yra pastovi, o
visi n bandymų yra nepriklausomi

Formulė:

$P_n(k) = C{matrix{2}{1}{{k}{n}}}{} * p^k * q^{n-k}$

Pavyzdys

Simetriška moneta metama keturis kartus. Apskaičiuokite tikimybę, kad tris kartus atsivertė herbas.

Pirmas būdas

Išsirašant visas galimas baigtis ir sprendžiant „senuoju geruoju“ būdu.

Antras būdas

n = 4 (metama 4 kartus); k = 3 (herbas turi atsiversti 3 kartus); p = 0.5 (gali apsiversti skaičius arba herbas); q = 1 - p = 0.5
$P_4(3) = C{matrix{2}{1}{{3}{4}}}{} * (1/2)^2 * (1/2)^{4-3} = 1/4$

Sprendimo panaudojant lentelę pavyzdys

Šešiasienio simetriško lošimo kauliuko sienose surašyti skaičiai: 1, 1, 1, 1, 3, 3. Kauliukas metamas du kartus ir rezultatai sudedami. X lygus atsivertusių akučių sumai.