Integralas ir jo taikymas

Pirmykštė funkcija

Žymėjimas:

Veiksmo pavadinimas: diferencijavimas arba integravimas.

Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) pirmykšte funkcija, kai F'(x) = f(x), pvz.:

Kurios funkcijos išvestinė yra funkcija f(x) = 4x^3 ?

F(x) = x^4 + C , C in bbR

C - didžioji!

F(x) + C = int{}{}{f(x) dx}

F(x) pm C = int{}{}{f(x) dx}

Nr.	Funkcija	Funkcijos išvestinė	Pirmykštė funkcija
1.		$n * x^{n-1}$	${x^{n+1}}/{n+1}$ ,
			${x^1}/1 = x$
	(skaičius)
			$k*{{x^2}/2} + b$
			${x^3}/3$
			${ax^3}/3 + {bx^2}/2 + cx$
			${x^4}/4$
	$sqrt{x} = x^{1/2}$		${x^{1.5}}/1.5 = {x sqrt{x}}/1.5 = {2x sqrt{x}}/3$
2.	$1/x = x^{-1}$	$-{1/{x^2}}$
3.			${a^x}/{ln a}$

4.
5.
6.		$1/{cos^2 x}$	Skaičiuojama pagal kitas taisykles.
7.		$-{1/{sin^2 x}}$	Skaičiuojama pagal kitas taisykles.
8.	$1/{sin^2 x}$	-
9.	$1/{cos^2 x}$	-

S = int{a}{b}{f(x) dx} = delim{}{F(x)}{|}{matrix{2}{1}{{b}{a}}}{} = F(b) - F(a)

Šio reiškinio rezultatas gali būti neigiamas (jei grafikas yra ne pirmame ar antrame ketvirčiuose), todėl reikia:

Vienoje koordinatinėje plokštumoje nubraižykite kreives (tieses):

Apskaičiuokite šiomis kreivėmis apribotos figūros plotą.

(Galima spręsti ir paprasčiau, t.y. be integralų)

Kaip matome, tai yra tiesinė funkcija (f(x)=2x+1), todėl nėra sunku pamatyti, kad tai bus trikampis, kurio plotą galima skaicčiuoti pagal Pitagoro teoremą, o po to pritaikant Herono formulę plotui apskaičiuoti.

Kadangi turime brėžinį galime, paskaičiuoti kokie yra kraštinių ilgiai arba apskaičiuojant nepasinaudojus grafiko (ištirsime abu atvejus).

Matome, kad kraštinė ant x ašies riboją šitą figūrą, todėl kraštinės ilgis ant x ašies yra lygus , o pagal formules skaičiuojame taip : , o kita koordinatė yra x=3, todėl kraštinės ilgis : $x_1+x_2=3{1/2}$ , žiūrime kur susikirs , matome kad kraštinė prasideda nuo x=0 , todėl , dabar kai turime dviejų kraštinių ilgius galime sužinoti trečios pagal Pitagoro teoremą : $c^2=7^2+(3{1/2})^2 ; c=sqrt{245/4} ; c approx 7.82$ , O plotas lygus: ploto vienetai.