Jūs esate čia: Pradžia » Matematika » Išvestinių taikymas funkcijoms tirti

Turinys

Išvestinių taikymas funkcijoms tirti

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė

{max}under{delim{[}{a; b}{]}} f(x) = f(m) = n (m; n)

{min}under{delim{[}{a; b}{]}} f(x) = f(m) = n (m; n)

Uždarame intervale

Pavyzdys

Duota: y = x^3 - 3x^2 - 45x + 1

Rasti: didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes intervaluose:

  • a) [-4; 6]
  • b) [0; 6]
  • c) [-2; 2]
  • y prime = 3x^2 - 6x - 45
  • y prime = 0, 3x^2 - 6x - 45 = 0
  • x^2 - 2x - 15 = 0
  • x_1 = -3, x_2 = 5
a)
  • x = -3 in delim{[}{-4; 6}{]}
  • x = 5 in delim{[}{-4; 6}{]}
  • y(4) = 3*16 + 24 - 45 = 69
  • y(-3) = 3*9 + 18 - 45 = 82
  • y(5) = 75 - 30 - 45 = -174
  • y(6) = 3*36 - 36 - 45 = -161

Ats.:

  • {min}under{delim{[}{-4; 6}{]}} y(x) = y(5) = -174
  • {max}under{delim{[}{-4; 6}{]}} y(x) = y(-3) = 82
b)
  • x = -3 notin delim{[}{0; 6}{]}
  • x = 5 notin delim{[}{0; 6}{]}
  • y(5) = -174
  • y(0) = -45
  • y(6) = -161

Ats.:

  • {min}under{delim{[}{0; 6}{]}} y(x) = y(5) = -174
  • {max}under{delim{[}{0; 6}{]}} y(x) = y(0) = -45
c)
  • x = -3 notin delim{[}{-2; 2}{]}
  • x = 5 notin delim{[}{-2; 2}{]}
  • y(-2) = 71
  • y(2) = -93

Ats.:

  • {min}under{delim{[}{-2; 2}{]}} y(x) = y(2) = -93
  • {max}under{delim{[}{-2; 2}{]}} y(x) = y(-2) = 71

Atvirame intervale

Pavyzdys

Raskite didžiausią funkcijos y = {x}/{1+x^2} reikšmę intervale delim{[}{0; infty}{rbracket}.

  • y prime = {1+x^2 - x * 2x}/{(1+x^2)^2} = {1-x^2}/{(1+x^2)^2}
  • y prime = 0, {1-x^2}/{(1+x^2}^2} = 0
  • 1 - x^2 = 0
  • x = 1, x = -1
  • x = -1 notin delim{[}{0; infty}{rbracket}
  • x = 1 in delim{[}{0; infty}{rbracket}
  • y(0) = 0
  • y(1) = 1/2

Maksimumų ir minimumų piešinys

Ats.:

  • {max}under{delim{[}{0; infty}{rbracket}} y(x) = 1/2
  • {min}under{delim{[}{0; infty}{rbracket}} y(x) = 0

Teksto uždaviniai

Sprendimo planas

  1. PIRMAS ETAPAS. Matematinio modelio sudarymas
    1. Iš sąlygos nustatyti opimizuojamą dydį, t.y. dydį, kurio mažiausią ar didžiausią reikšmę reikia rasti. Šį dydį pažymėti raide y (arba S, V, R, t, … - priklauso nuo uždavinio sąlygos).
    2. Vieną nežinomą dydį, per kurį palyginus lengva išreikšti optimizuojamą dydį, pavadinti nepriklausomu kintamuoju ir pažymėti x (ar kita raide). Nustatyti x realius rėžius (pagal uždavinio sąlygą).
    3. Pagal uždavinio sąlygą y išreikšti per x. Matematinis modelis bus sudarytas, jei bus surasta funkcija y = f(x). Jos apibrėžimo sritis X yra pagal uždavinio sąlygą galimos nepriklausomos kintamojo reikšmės.
  2. ANTRAS ETAPAS. Darbas su matematiniu modeliu
    1. Surasti funkcijos y = f(x), x ∈ X didžiausią ir/arba mažiausią reikšmes (priklauso nuo to, ko reikalauja uždavinio sąlyga).
  3. TREČIAS ETAPAS. Atsakymas pagal uždavinio sąlygą
    1. Reikia atsakyti konkrečiai į uždavinio klausimą.

Pavyzdys

Atviro bako, kurio pagrindas yra kvadratas, tūris - 108 cm2. Kokių matmenų bakui pagaminti bus sunaudota mažiausiai medžiagos?

1. Matematinio modelio sudarymas

  1. Stačiakampio gretasienio paviršiaus plotas turi būti mažiausias.
    • S_v = S_pagr + 4 * S_sienos
  2. Stačiakampio gretasienio pagrindo kraštinė a lygi x cm.
    • a = x cm
    • h = V/{S_pagr}
    • h = 108/{x^2} cm
    • S_v = x^2 + 4x*{108/{x^2}} = x^2 + 432/x, x in delim{lbracket}{0; infty}{rbracket}
2. Darbas su matematinio modeliu
  • S(x) = x^2 + 432/x, x in delim{lbracket}{0; infty}{rbracket}
  • Mažiausia reikšmė: x = 6 = a
  • h = 108/{x^2} = 3 cm
3. Atsakymas pagal uždavinio sąlygą

Ats.: pagrindo kraštinė - 6 cm, aukštis - 3 cm.

This website uses cookies for visitor traffic analysis. By using the website, you agree with storing the cookies on your computer.More information
 
Jei nenurodyta kitaip, šio wiki turinys ginamas tokia licencija: CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Recent changes RSS feed Powered by PHP Valid XHTML 1.0 Valid CSS Driven by DokuWiki