Aritmetinė progresija

Aritmetine progresija (AP) vadinama skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus prieš jį esančio nario ir nurodyto skaičiaus sumai.

Žymima simboliu .

$delim {lbrace} {a_n} {rbrace}$

$a_n = a_{n-1}+d$ (d - aritmetinės progresijos skirtumas, pastovus skaičius)

$d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_17 - a_16 = a_n - a_{n-1}$

Pavyzdžiui, jei a_1 = 3 ir d=2 :

$delim {lbrace} {a_n} {rbrace}: 3; 5; 7; 9; 11; ...$

Rūšys

Jei d > 0, tai aritmetinė progresija didėjanti
Jei d < 0, tai aritmetinė progresija mažėjanti
Jei d = 0, tai aritmetinė progresija pastovi

Savybės

Bet kuris aritmetinė progresija narys, pradedant antruoju, yra aritmetinis vidurkis prieš jį einančio ir po jo einančio nario.

$delim {lbrace} {a_n} {rbrace}: a_1, a_2, a_3, ..., a_n$

$a_n = {a_{n-1} + a_{n+1}} / 2$

Baigtinės aritmetinės progresijos dviejų narių, vienodai nutolusių nuo pradžios ir pabaigos, suma yra lygi kraštinių narių sumai.

$delim {lbrace} {a_n} {rbrace}: a_1, a_2, a_3, a_4, ..., a_{n-1}, a_n.$

$a_1 + a_n = a_2 + a_{n-1} = a_3 + a_{n-2} = a_4 + a_{n-3} = ...$

n-tojo nario formulė

a_2 = a_1 + d

a_3 = a_2 + d = a_1 + 2*d

a_4 = a_3 + d = a_1 + 3*d

a_100 = a_99 + d = a_1 + 99*d

Taigi:

a_n = a_1 + d*(n-1)

n narių sumos formulė

$delim {lbrace} {a_n} {rbrace}: a_1; a_2; ...; a_n.$ (seka baigtinė)

$S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = {{a_1 + a_n} / 2} * n = {{2 * a_1 + d * (n-1)} / 2} * n$