Turinys

Atsitiktiniai dydžiai

Taip pat žr. Tikimybės ir Kombinatorika

Atsitiktiniu dydžiu vadiname bet kokį dydį, kuris po bandymo įgyja konkrečią, iš anksto nežinomą skaitinę reikšmę.

Bandymų ir atsitiktinių dydžių pavyzdžiai

Bandymas Įvykis Atsitiktinis dydis X Galimos X reikšmės
Metamas lošimo kauliukas Iškrinta 1, 2, 3, 4, 5 arba 6 akutės Iškritusių akučių skaičius 1, 2, 3, 4, 5, 6
Metamos trys monetos Atvirsta herbas Atsivertusių herbų skaičius 0, 1, 2, 3
Traukiami keturi rutuliai Ištraukti tam tikros spalvos rutuliai Ištrauktų tos pačios spalvos rutulių skaičius 0, 1, 2, 3, 4
Du kartus šaunama į taikinį Pataikyta į taikinį Pataikymų skaičius 0, 1, 2
Sveriamas arbūzas Svoris ne mažesnis už 2, bet ne didesnis už 5 kg Arbūzo masė, išreikšta kilogramais [2; 5]
Traukiamos keturios kortos Ištrauktas tūzas Tūzų skaičius 0, 1, 2, 3, 4

Žymėjimas

Atsitiktinis dydis žymimas X

Dydžio įgyjamos skaitinės reikšmės - x1, x2, x3, …

Tikimybės, su kuriomis tos reikšmės įgyjamos: P1, P2, P3, …

Atsitiktinio dydžio skirstinys

Tai yra lentelė:

X x1 x2 x3 xn
P P1 P2 P3 Pn

Visos X reikšmės lentelėje turi būti skirtingos.

Tikimybių suma visada lygi 1 (P1 + P2 + … + Pn = 1).

Vidurkis, dispersija, kvadratinis nuokrypis

Atsitiktinio dydžio vidurkis (matematinė viltis)

Atsitiktinio dydžio vidurkis arba matematinė viltis skaičiuojama pagal formulę:

EX = x_1 * p_1 + x_2 * p_2 + ... + x_n * p_n

Dispersija

Dispersija - išsibarstymo matas; ji parodo, kaip dydžio reikšmės išsidėsčiusios apie vidurkį.

Formulė:

DX = (x_1 - EX)^2*p_1 + (x_2 - EX)^2*p_2 + ... + (x_n - EX)^2*p_n

Kvadratinis nuokryptis

Formulė:

delta = sqrt{DX}

Binominis skirstinys

Binominis bandymas turi tenkinti šias sąlygas:

Formulė:

P_n(k) = C{matrix{2}{1}{{k}{n}}}{} * p^k * q^{n-k}

Pavyzdys

Simetriška moneta metama keturis kartus. Apskaičiuokite tikimybę, kad tris kartus atsivertė herbas.

Pirmas būdas

Išsirašant visas galimas baigtis ir sprendžiant „senuoju geruoju“ būdu.

Antras būdas

Sprendimo panaudojant lentelę pavyzdys

Šešiasienio simetriško lošimo kauliuko sienose surašyti skaičiai: 1, 1, 1, 1, 3, 3. Kauliukas metamas du kartus ir rezultatai sudedami. X lygus atsivertusių akučių sumai.

  1. parodykite, kad atsitiktinis dydis X įgyja reikšmę 2 su tikimybe 4/9
  2. užpildykite atsitiktinių dydžių skirstinio lentelę
  3. apskaičiuokite EX

1)

Sudarome galimų baigčių lentelę:

1-as /
2-as
1 1 1 1 3 3
1 2 2 2 2 4 4
1 2 2 2 2 4 4
1 2 2 2 2 4 4
1 2 2 2 2 4 4
3 4 4 4 4 6 6
3 4 4 4 4 6 6

n = 6^2 = 36, m = 4^2 = 16

P(A) = m/n = 16/36 = 4/9

2)

X 2 4 6
P 16/36 16/36 4/36

Kadangi matome, kad viskas dalinasi iš 4 bus lengviau skaičiuoti

X 2 4 6
P 4/9 4/9 1/9

3)

EX = 2*16/36 + 4*16/36 + 6*4/36 = 32/36 + 64/36 + 24/36 = 120/36 = 3 1/3

Iš praeito pavyzdžio skaičiuojame su mažesniais skaičiais :

EX = 2*4/9 + 4*4/9 + 6*1/9 = 8/9 + 16/9 + 6/9 = 30/9 = 10/3 = 3 1/3