Turinys

Geometrinė progresija

Geometrinė progresija

Dar žr. Aritmetinė progresija

Geometrinė progresija (GP) - tai nelygių nuliui skaičių seka, kurios kiekvienas narys, pradedant antruoju, lygus prieš jį esančiam nariui, padaugintam iš nurodyto skaičiaus.

Žymima simboliu .

$delim {lbrace} {b_n} {rbrace}: b_1; b_2; b_3; ...; b_n$

$b_n = b_{n-1} * q$ (q - geometrinės progresijos vardiklis)

$q = b_2 / b_1 = b_n / b_{n-1}$

Pavyzdžiui, jei b_1 = 4 ir q = -3 :

b_2 = b_1 * q = 4 * (-3) = -12

b_3 = b_2 * q = -12 * (-3) = 36

b_4 = b_3 * q = 36 * (-3) = -108

b_5 = b_4 * q = -108 * (-3) = 324

Rūšys

Jei q < 0, tai geometrinė progresija nei didėjanti, nei mažėjanti.
Jei q > 0, tai geometrinė progresija mažėjanti arba didėjanti (priklauso nuo b)

n-tojo nario formulė

$b_n = b_1 * q ^ {n-1}$

b_2 = b_1 * q , b_3 = b_2 * q = b_1 * q^2 , b_4 = b_3 * q = b_1 * q^3

n narių sumos formulė

$S_n = {b_n * q - b_1} / {q - 1} = {b_1 * (q^n - 1)} / {q - 1}$ ( q <> 1 )

$S_n = {b_1 * (1 - q^n)} / {1 - q}$ – iš valstybinio egzamino formulyno

Savybės

Bet kuris baigtinės geometrinės progresijos, sudarytos iš teigiamųjų skaičių, narys, pradedant antruoju, yra geometrinis vidurkis šalia einančių narių.

$b_n = sqrt {b_{n-1} * b_{n+1}}$ (čia yra geometrinis vidurkis)

Kad nereikėtų aiškintis su šaknimis: ${b_n}^2 = b_{n-1} * b_{n+1}$

$b_1 * b_n = b_2 * b_{n-1} = b_3 * b_{n-2} = ...$

Begalinė (nykstamoji) geometrinė progresija

$delim {lbrace} {b} {rbrace}: b_1; b_1*q; b_1*q^2; b_1*q^3; ...$ , kai b_1 <> 0 ir |q| < 1

$S = b_1 / {1-q}$