Ribos, tolydumas

Pavyzdys nr. 1

$delim{lbrace}{x_n}{rbrace}: x_n = 1/n$ , n in N

x₁ = 1, x₂ = 0.5, …, x₁₀₀₀ = 0.001

`n`	1	2	3	4	5	6
`x_n`	1

Didėjant n, x_n artėja prie taško, kurio abscisė 0.

Pavyzdys nr. 2

$delim{lbrace}{x_n}{rbrace}: x_n = {n-1}/{2n}$ , n in N

x_1 = 0/2 = 0 , x_2 = 1/4 , x_3 = 2/6 = 1/3 , …, x_1000 = 999/2000

[diagram] Edit

Artėja prie 1/2 .

Didėjant n, x_n artėja prie taško, kurio abscisė lygi 1/2 , t.y.:

n right infty , tai x_n right 1/2

$x_n = {n-1}/{2n} = {n/{2n}} - {1/{2n}} = {1/2} - {1/{2n}}$ , todėl x_n right 1/2

n right infty , 1/n right 0 , tai 1/{2n} right 0

Riba

Riba žymima lim.

Pirmoji svarbi riba: lim{n right 0}{{sin{x}}/x}=1

Antroji svarbi riba: $lim{n right infty}{(1+1/x)}^x=e$ arba $lim{n right infty}{(1+x)}^{1/x}=e$

Neapibrėžtumai: (0/0),(infty/infty),(0*infty),(infty-infty),(1^infty),(0^0),(infty^0)

Ekvivalenčios, kai x right 0 , nykstančios funkcijos: $sin{x} approx x ; tg{x} approx x ; 1-cos{x} approx x^2/2 ; arcsin{x} approx x ; arcctg{x} approx x ; e^x-1 approx x ; ln(1+x) approx x$

Funkcijos tolydumas: $lim{x right x_0}{f(x)}=f(x_0); lim{Delta x right 0}{Delta y}=0$

Laipsninių rodiklinių funkcijų ribos: $lim{}{u(x)^{v(x)}}=e^{lim{}{(v(x)*ln{u(x)})}}; lim{}{u(x)^{v(x)}}=(1^infty)=e^{lim{}{(u(x)-1)*v(x))}$

Iš antro pavyzdžio:

lim{n right infty}{{n-1}/{2n}} = lim{n right infty}{{n/{2n}} - {1/{2n}}} = lim{n right infty}{{1/2} - {{1/{2n}}}} = lim{n right infty}{1/2} - lim{n right infty}{{1/{2n}}} = 1/2 - 0 = 1/2