2006 m. matematikos valstybinio brandos egzamino užduoties sprendimas

Egzamino užduočių autorinės teisės priklauso Nacionaliniam Egzaminų Centrui, užduotims Creative Commons netaikomas.

Prie užduočių pridedamas formulynas.

Pastabos rašomos kursyvu.

1.

Užduotis

Kuriam intervalui priklauso skaičius log_3 10 ?

A (-3; -2); B (0; 1); C (1; 2); D (3; 4); E (2; 3)

Atsakymas

E

Paaiškinimas

Neturint pernelyg gudraus kalkuliatoriaus, galima mąstyti taip: 3² = 9, 3³ = 27, o reikia gauti 10, kuris yra tarp šių skaičių, taigi logaritmas bus lygus kažkam tarp 2 ir 3.

Dar žr. Logaritmai

2.

Užduotis

Knygas dedant į krūveles po 3, lieka 2 knygos, taip pat 2 knygos lieka ir dedant jas į krūveles po 10. Knygų buvo:

A 12; B 8; C 32; D 16; E 65

Atsakymas

C

Paaiškinimas

„2 knygos lieka ir dedant jas į krūveles po 10“, taigi knygų bus 10n + 2, t.y. 12, 22, 32, 42, 52, … Lieka pasirinkimas tarp 12 ir 32. 12 netinka, nes dedant į krūveles po 3 knygas, atliekamų knygų neliks.

3.

Užduotis

Kuri pora lygčių yra ekvivalenčios lygtys?

A ${x^2 - 4}/{x-2}=4$ ir x + 2 = 4

B x - 1 = 3 ir (x-1)^2 = 9

C x = 3 ir x + 1/{x-3} = 3 + 1/{x-3}

D x + 1 = 1 ir x + 1 + 1/{x-1} = 1 + 1/{x-1}

E sqrt{x} = 1 ir x = 1

Paaiškinimas

Ekvivalenčios lygtys - lygtys, turinčios tuos pačius sprendinius arba visai neturinčios sprendinių.

Atsakymas

D

A

Iš antrosios lygties galime sužinoti, kad x turi būti lygus dviems. Bet pirmosios lygties pošaknyje 2 negalime įsistatyti, nes dalyba iš nulio negalima. Kadangi pirmoji lygtis sprendinių neturi (tai galima sužinoti iš jos susidarius kvadratinę lygtį), tai lygtys nėra ekvivalenčios.

B

Iš pirmosios lygties sužinome, kad vienintelė x reikšmė turėtų būti lygi 4. Antrojoje lygtyje 4 tinka, nes (4-1)^2 = 9 , bet antrojoje lygtyje taip pat tiktų -2 ( (-2-1)^2 = 9 ). Kadangi antroji lygtis turi vienu sprendiniu daugiau, lygtys nėra ekvivalenčios.

C

Vienintelė galima x reikšmė abiejose lygtyse turėtų būti 3, bet antrosios lygties pošaknyje yra reiškinys x - 3. Kadangi dalyba iš nulio negalima, trejetas antroje lygtyje netinka, todėl lygtys nėra ekvivalenčios.

D

Iš pirmosios lygties sužinome, kad x lygus 0. Įsistatę x reikšmę į antrosios lygties abiejas puses ir suprastinę, gauname, kad 0 = 0. Kadangi tas pats x tiko abiejoms lygtims ir jose nėra kvadartų, kurie galėtų sugadinti visą reikalą, tai lygtys yra ekvivalenčios.

E

Šito galima jau ir nebetikrinti, nes atsakymas turi būti tik vienas. $sqrt{1^2}=1$ , bet taip pat pirmojoje lygtyje x galėtų būti ir -1, nes $sqrt{(-1)^2}=1$ . Kadangi pirmoji lygtis turi du sprendinius, lygtys nėra ekvivalenčios.

4.

Užduotis

$sqrt{(sqrt{5}-3)^2} - sqrt{(sqrt{5}-2)^2} =$

A -1; B 5 - 2 sqrt{5} ; C 2 sqrt{5} - 5 ; D 1; E 5

Paaiškinimas

Matome, kad yra kvadratinė šaknis ir pošaknyje kvadratinis reiškinys. Todėl galime šaknį ir kvadratą pošaknyje „panaikinti“, ir gauname reiškinį su moduliu : delim{|}{sqrt{5}-3}{|} - delim{|}{sqrt{5}-2}{|} . Žinodami, kad sqrt{4}=2 , todėl galime (be skaičiuotuvo pagalbos) pasakyti, kad sqrt{5}>2 , todėl „ištraukiant“ iš modulio reiškinius gauname tokią lygtį : $-(sqrt{5}-3)+(sqrt{5}-2)=1 ==== Atsakymas ==== **D** ===== 5. ===== ==== Užduotis ==== Kurios parabolės viršūnė yra II ketvirtyje? **A** <m>y=(x−1)^2−1$ ; B y=(x+2)^2+1 ; C y=(x+2)^2−3 ; D y=(x−4)^2 ; E y=x^2−1

Paaiškinimas

Paraboles viršūne randama iš lygybės: x={-b}/2a , dar yra žinoma, kad ji yra II ketvirtyje, tai reiškia, kad x < 0 ir y > 0 . Tikriname visus galimus variantus:

(A) ; netinka nes x > 0
(B) $x={-4}/{2*1}=-2 ; y(x)=(-2+2)^2+1=1$ , tinka, nes y > 0 ir x < 0
(C) $x={-4}/{2*1}=-2 ; y(x)=(-2+2)^2-3=-3$ , netinka, nes y < 0
(D) , netinka, nes x > 0
(E) , netinka, nes x = 0

Atsakymas

B

6.

Užduotis

Kiek sprendinių intervale delim{[}{{-5pi}/2;2pi}{]} turi lygtis cos{x}=1/2

A 3 ; B 4 ; C 7 ; D 5 ; E 6.

Paaiškinimas

cos{x}=1/2 doubleright x=arccos(1/2) doubleright x=pm pi/3+2pi k,k in Z Mum tinkantys sprendiniai yra intervale: {-5pi}/2<={-7pi}/3,{-5pi}/3,-pi/3,pi/3,{5pi}/3<=2pi , viso yra 5 sprendiniai.

Atsakymas

D

7.

Užduotis

Palyginkite $log_{1/a}a$ ir $log_{a}1/a$ , kai a>1.

Paaiškinimas

$log_{1/a}a=log_{a^{-1}}a=-log_{a}a=-1$ , kai a > 0 ir a nelygus 1

$log_{a}1/a=log_{a}a^-1=-log_{a}a=-1$ , kai a>0 ir a nelygus 1

Iš sąlygos žinome, kad a>1 todėl $log_{1/a}a=log_{a}1/a$

Atsakymas

$log_{1/a}a=log_{a}1/a$

Turinys

2006 m. matematikos valstybinio brandos egzamino užduoties sprendimas

1.

Užduotis

Atsakymas

Paaiškinimas

2.

Užduotis

Atsakymas

Paaiškinimas

3.

Užduotis

Paaiškinimas

Atsakymas

A

B

C

D

E

4.

Užduotis

Paaiškinimas

Paaiškinimas

Atsakymas

6.

Užduotis

Paaiškinimas

Atsakymas

7.

Užduotis

Paaiškinimas

Atsakymas